Toán tử logic

Toán tử logic (tiếng Anh: Logical connective hoặc Logical operator, còn được dịch là phép liên kết logic, phép nối logic, liên từ logic) là một toán tử kết hợp hoặc sửa đổi một hoặc nhiều biến hoặc công thức logic. Điều này tương tự như phép cộng hoặc phép trừ trong số học nhưng đối với các mệnh đề toán học. Mỗi toán tử logic có thể có nhiều ký hiệu khác nhau.

Các toán tử logic thông dụng bao gồm phủ định, tuyển, hội, tuyển loại (XOR), kéo theo (suy ra) và tương đương (khi và chỉ khi).

Các phép toán tử thông dụng

Dưới đây là một số các phép toán tử phổ biến.

Toán tử	Ngôn ngữ bình thường	Cổng logic	Lý thuyết tập hợp	Ký hiệu
Đúng	A			$\top$
Sai	Không phải A	NOT	Phép bù	$\bot$
Phủ định				$\neg A,-A,{\bar {A}},\sim A$
Tuyển	A hoặc B	OR	Phép hợp	$A\lor B,A+B,A\mid B,A\parallel B$
Hội	Cả A và B	AND	Phép giao	$A\land B,A\cdot B,AB,A\mathop {\&} B,A\mathop {\&\&} B$
Phủ định tuyển	Không phải cả A hay B	NOR		$A\mathrel {\overline {\lor }} B,A\downarrow B,{\overline {A+B}}$
Phủ định hội	Không phải cả A và B	NAND		$A\mathrel {\overline {\land }} B,A\uparrow B,A\mid B,{\overline {A\cdot B}}$
Tuyển loại	Chỉ một trong hai giữa A và B	XOR		$A\mathrel {\underline {\lor }} B,A\oplus B$
Không tuơng đuơng				$A\not \equiv B,A\not \Leftrightarrow B,A\nleftrightarrow B$
Phủ định loại trừ	A khi và chỉ khi B B khi và chỉ khi A	XNOR	Bằng nhau	$A\odot B,{\overline {A\mathrel {\overline {\lor }} B}}$
Tuơng đuơng				$A\equiv B,A\Leftrightarrow B,A\leftrightharpoons B$
Kéo theo	A khi B	IMPLY	Tập con	$A\Rightarrow B,A\subset B,A\rightarrow B$
Không kéo theo	Không A khi B	NIMPLY		$A\not \Rightarrow B,A\not \subset B,A\nrightarrow B$
Kéo theo đảo	B khi A			$A\Leftarrow B,A\supset B,A\leftarrow B$
Không kéo theo đảo	Không B khi A			$A\not \Leftarrow B,A\not \supset B,A\nleftarrow B$

Bảng chân trị

$A$	$B$	$\neg A$	$A\lor B$	$A\land B$	$A{\bar {\lor }}B$	$A{\bar {\land }}B$	$A\oplus B$	$A\odot B$	$A\rightarrow B$	$A\not \rightarrow B$
0	0	1	0	0	1	1	0	1	1	0
0	1		1	0	0	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0	1	1	0	0	1
1	1		1	1	0	0	0	1	1	0

Tính chất

Sau đây là một vài tính chất toán học của các toán tử; lưu ý không phải tất cả các toán tử đều sở hữu toàn bộ các tính chất này:

• Tính kết hợp (Associativity): Khi cùng một toán tử xuất hiện nhiều lần liên tiếp, cách đặt ngoặc không làm thay đổi kết quả. $(A\land B)\land C=A\land (B\land C)$
• Tính giao hoán (Commutativity): Đổi thứ tự toán hạng không làm thay đổi kết quả. $A\land B=B\land A$
• Tính phân phối (Distributivity): Một toán tử phân phối qua toán tử khác nếu khi áp dụng nó lên một biểu thức có ngoặc thì kết quả bằng với việc áp dụng nó riêng cho từng thành phần trong ngoặc rồi ghép các kết quả lại bằng toán tử ban đầu của biểu thức trong ngoặc. $(A\land B)\lor C=(A\lor C)\land (B\lor C)$
• Tính lũy đẳng (Idempotence): Áp dụng một toán tử lên cùng một toán hạng không làm thay đổi giá trị. $A\land A\land ...\land A=A$
• Tính hấp thụ (Absorption): Áp dụng một toán hạng kết hợp với một biểu thức có chứa chính nó sẽ cho kết quả là chính toán hạng đó. $A\land (A\lor B)=A$
• Tính đơn điệu (Monotonicity): Nếu một toán hạng được thay từ sai thành đúng thì kết quả cũng chỉ có thể đổi từ sai thành đúng, nếu kết quả đang là đúng thì không thể chuyển thành sai. Ví dụ: nhìn lên bảng chân trị, việc tăng giá trị của A hoặc B từ 0 lên 1 không thể giảm giá trị của kết quả cho toán tử AND hay OR.
• Tính bảo toàn chân lý (Truth-preserving): Nếu tất cả các toán hạng đều đúng thì kết quả của toán tử cũng đúng.
• Bảo toàn sai (Falsehood-preserving): Nếu tất cả các toán hạng đều sai thì kết quả của toán tử cũng sai.
• Tính đối ngẫu (Duality): hai toán tử $f$ và $g$ có tính đối ngẫu nếu $f(\neg A,\neg B)=\neg g(A,B)$. Ví dụ: AND và OR là đối ngẫu của nhau vì $\neg A\land \neg B=\neg (A\lor B)$ (luật De Morgan). Một toán tử có thể tự đối ngẫu với chính nó.
• Tính tự nghịch (Involutivity): Sử dụng toán tử hai lần lên cùng một toán hạng sẽ trả lại đúng toán hạng ban đầu. $\neg \neg A=A$

Bảng tính chất cho các toán tử phổ biến.$\checkmark$ nghĩa là toán tử có tính chất này $\times$ nghĩa là toán tử không có

Tính chất	NOT	OR	AND	NOR	NAND	XOR	XNOR	IMPLY	NIMPLY
Kết hợp		$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$
Giao hoán		$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$
Phân phối		$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
Lũy đẳng	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
Hấp thụ	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
Đơn điệu	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
Bảo toàn chân lý	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$
Bảo toàn sai	$\times$	$\checkmark$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\checkmark$
Đối ngẫu	$\checkmark$	$\checkmark$		$\checkmark$		$\checkmark$		$\checkmark$
Tự nghịch	$\checkmark$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$