Bảng chân trị

Bảng chân trị đơn giản cho phép tuyển.

Bảng chân trị (tiếng Anh: Truth table, còn được dịch là Bảng chân lý) là một bảng toán học được dùng để tính toán kết quả của các hàm logic dựa trên giá trị của từng toán hạng đầu vào. Nó có thể được sử dụng trong đại số Boolean, để kiểm tra liệu một mệnh đề có hợp lệ về mặt logic hay không, hoặc liệu hai mệnh đề có tương đương về mặt logic hay không.

Một bảng chân trị có một cột cho mỗi biến đầu vào và một cột cuối cùng hiển thị kết quả của phép toán logic mà bảng biểu diễn. Ngoài ra, chúng còn có thể có thêm các cột ở giữa để ghi lại kết quả của các phép toán thành phần. Mỗi hàng của bảng chân trị chứa một biến thể của các biến đầu vào. Vì vậy, số hàng của một bảng chân trị sẽ bằng $2^{n}$, với $n$ là số biến của phép toán logic.

Lịch sử

Nhà lịch sử triết học Irving Anellis cho rằng C.S. Peirce dường như là nhà logic học đầu tiên nghĩ ra ma trận bảng chân trị vào năm 1883, xong nó chỉ tồn tại trong một bản thảo chưa được cho xuất bản. Vì vậy, Ludwig Wittgenstein thường được ghi nhận là người đã phát minh và phổ biến bảng chân trị trong cuốn Tractatus Logico-Philosophicus của ông, được hoàn thành vào năm 1918 và xuất bản vào năm 1921. Ngoài ra, một hệ thống tương tự cũng được Emil Leon Post đề xuất một cách độc lập vào năm 1921.

Cách điền bảng chân trị

Có vài ý kiến khác nhau về cách điền các cột cho các biến như thế nào, mặc dù về cơ bản thì kết quả cũng sẽ không khác gì nhau.

Điền luân phiên

Theo giáo sư Lee Archie từ Đại học Lander, đây là cách điền bảng chân trị chuẩn mực:

1. Viết các biến vào hàng đầu của mỗi cột theo thứ tự bảng chữ cái.
2. Số hàng của một bảng chân trị sẽ bằng $2^{n}$, với $n$ là số biến.
3. Bắt đầu ở cột bên phải ngoài cùng. Luân phiên các giá trị True và False (hoặc 1 và 0)
4. Tiếp đến ở cột ngay bên trái nó. Luân phiên 2 lần True với 2 lần False.
5. Cứ làm tiếp, mỗi cột bên trái tiếp theo thì nhân đôi số lượng True và False luân phiên nhau.

Ví dụ bảng chân trị cho mạch cộng toàn phần

stt	$A$	$B$	$C_{in}$	$S$	$C_{out}$
1	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$
2	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
3	$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
4	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$
5	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
6	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
7	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
8	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$

•     Bước 1: viết tên biến theo thứ tự bảng chữ cái
•     Bước 2: đánh số thứ tự (stt)
•     Bước 3: cột phải nhất, luân phiên T/F từng hàng
•     Bước 5i: cột B, luân phiên 2T–2F
•     Bước 5ii: cột A, luân phiên 4T–4F

Điền theo từng tổ hợp

Cố Giáo sư Colin Howson từng giảng dạy tại Đại học Toronto lại cho rằng, nên ưu tiên viết theo từng hàng một, bắt đầu với toàn bộ là $True$ trước, rồi viết dần từng hàng còn lại theo từng tổ hợp với số giá trị $True$ giảm dần cho đến hàng có toàn bộ là $False$.

Biến thể

Bảng chân trị rút gọn (Bảng Cayley)

Cho các phép toán nhị nguyên, ta cũng có thể rút gọn bảng này lại thành một bảng nhỏ gọn hơn tương tự như bảng Cayley. Trong đó, tiêu đề hàng và tiêu đề cột biểu diễn giá trị cho các toán hạng, còn các ô trong bảng thể kết quả với từng cặp giá trị. Dưới đây là hai bảng chân trị rút gọn cho phép hội và phép tuyển.

$\land$ 0 1 0 0 0 1 0 1

$\lor$ 0 1 0 0 1 1 1 1

Bảng hàm

Biến thể này thay vì chỉ có đầu ra là đúng hoặc sai ($True$ và $False$) thì thay vào đó cho kết quả là các biến đầu vào. Điều này khá hữu dụng khi thiết kế mạch vì không phải lúc nào đầu ra của các chúng cũng chỉ là 0 với 1. Lấy ví dụ cho một Multiplexer:

Multiplexer 4-to-1

$S_{1}$	$S_{0}$	$Z$
$F$	$F$	$A$
$F$	$T$	$B$
$T$	$F$	$C$
$T$	$T$	$D$