Toán tử div

Trong giải tích vectơ, toán tử div hay toán tử phân kỳ hay suất tiêu tán là một toán tử dùng để đo mức độ mà một trường vectơ “phát ra” hoặc “thu vào” tại một điểm. Cụ thể, nó cho biết tại điểm đó, các vectơ xung quanh có xu hướng hướng ra ngoài (giống như một nguồn phát) hay hướng vào trong (giống như một nguồn thu). Kết quả của phân kỳ là một số thực: nếu dương thì biểu thị sự phát ra, nếu âm thì biểu thị sự thu vào, còn nếu bằng không thì có nghĩa là không có sự tích tụ hay thất thoát tổng thể tại điểm đó.

Một cách hình dung trực quan là xét một thể tích rất nhỏ bao quanh điểm đang xét và quan sát dòng chảy đi qua bề mặt của nó. Nếu lượng “dòng” đi ra ngoài nhiều hơn đi vào, thì phân kỳ tại điểm đó là dương; nếu ngược lại thì là âm. Ví dụ, trong trường vận tốc của không khí, khi không khí nóng lên và giãn nở, các vectơ vận tốc có xu hướng hướng ra ngoài, tạo phân kỳ dương; khi không khí lạnh đi và co lại, các vectơ hướng vào trong, tạo phân kỳ âm. Về mặt toán học, phân kỳ có thể được hiểu là tốc độ mà thông lượng đi ra khỏi một thể tích vi phân, trên mỗi đơn vị thể tích, khi thể tích đó tiến về không.

Định nghĩa

Toán tử div áp dụng trên một trường vectơ ${\textbf {F}}$ được định nghĩa bởi:

${\rm {div}}{\textbf {F}}\equiv \nabla \cdot {\textbf {F}}\equiv \lim _{V\to 0}{\frac {\oint _{S}{\textbf {F}}\cdot d{\textbf {A}}}{V}}$.

Trong tọa độ Descartes, với trường vectơ được biểu diễn là ${\textbf {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$, toán tử này được viết:

$\nabla \cdot {\textbf {a}}=\left({\frac {\partial a_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial a_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial a_{z}}{\partial z}}\right)$.