Lượng từ tồn tại

Lượng từ tồn tại

Loại	lượng từ
Lĩnh vực	logic toán học
Phát biểu	$\exists xP(x)$ đúng khi $P(x)$ đúng với ít nhất một số $x$.
Phát biểu tương đương	$\exists xP(x)$

Trong logic vị từ, lượng từ tồn tại là một loại lượng từ khẳng định sự tồn tại của một đối tượng theo một tính chất nào đó. Nó thường được biểu thị bằng ký hiệu toán tử logic ∃, và khi được sử dụng cùng với một biến vị từ, được gọi là lượng từ tồn tại (" ∃x " hoặc " ∃(x) " hoặc (∃x)" ), đọc là "tồn tại", "có ít nhất một", hoặc "đối với một số". Lượng từ tồn tại khác với lượng từ phổ quát ("đối với tất cả") khẳng định rằng thuộc tính hoặc tính chất đúng với tất cả các thành viên trong miền.

Lượng từ logic thường được ký hiệu bằng U+2203 ∃ THERE EXISTS trong Unicode, và là \exists trong LaTeX và các trình soạn công thức có liên quan.

Giới thiệu

Hãy xem xét câu hình thức

Đối với một số tự nhiên $n$, $n\times n=25$ .

Đây là một câu đơn sử dụng lượng từ tồn tại. Nó gần giống với câu "Hoặc $0\times 0=25$, hoặc $1\times 1=25$, hoặc $2\times 2=25$, hoặc... vân vân", nhưng để chuẩn xác hơn như với lượng từ với mọi, chúng ta không nên dùng "vân vân" làm phép tuyển trong logic hình thức. (Đặc biệt, câu này chỉ rõ miền biện luận của nó là các số tự nhiên, chứ không phải lấy ví dụ các số thực.)

Ví dụ cụ thể này đúng là bởi khi thay thế số tự nhiên 5 cho n, chúng ta tạo ra mệnh đề đúng $5\times 5=25$ . Không quan trọng việc " $n\times n=25$ " chỉ đúng với duy nhất số 5; sự tồn tại của một nghiệm là đủ để chứng minh lượng từ tồn tại này là đúng.

Ngược lại, "Đối với một số chẵn $n$, $n\times n=25$ " là sai, vì không có nghiệm chẵn nào thỏa mãn mệnh đề trong miền các số tự nhiên. Bởi miền biện luận xét các giá trị cho phép của n không chứa giá trị nào thỏa mãn mệnh đề, cho thấy niềm quan trọng trong việc chọn miền để xác định tính đúng/sai của mệnh đề. Phép hội có thể dùng để giới hạn miền biện luận nhằm đáp ứng một vị từ cho trước. Ví dụ, câu

Tồn tại số dương lẻ nào đó $n$, $n\times n=25$

tương đương logic với câu

Tồn tại một số tự nhiên $n$, $n$ lẻ và $n\times n=25$ .

Tính chất

Phủ định

Hàm mệnh đề được lượng từ hóa vẫn là một câu mệnh đề, và do đó giống với mệnh đề, hàm mệnh đề vẫn có thể bị phủ định. Ký hiệu $\lnot \$ dùng cho phép phủ.

Lấy ví dụ P(x) là vị từ "x lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1", thì khi xét miền X của các số tự nhiên, câu lượng từ tồn tại "Tồn tại số tự nhiên x lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1" có phát biểu bằng ký hiệu như sau:

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

Ta có thể thấy nó sai. Đúng hơn nó phải phát biểu là, "Không tìm thấy số tự nhiên x nào mà lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1", hoặc viết ký hiệu:

$\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$.

Nếu không có phần tử nào trong miền mà thỏa mãn mệnh đề, thì có nghĩa nó phải sai với mọi phần tử trong miền đó. Có nghĩa là, phủ định của mệnh đề

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

tương đương logic với "Với mọi số tự nhiên x, x không lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1", hoặc:

$\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

Nói chung, phủ định của lượng từ tồn tại của một hàm mệnh đề là lượng từ phổ quát của phủ định của hàm mệnh đề đó; hay được viết như sau

$\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

(Đây là dạng tổng quát của các định luật của De Morgan cho logic vị từ.)

Cần cẩn thận khi dùng phép phủ định. Ví dụ một lỗi thường gặp với phát biểu sau "Tất cả mọi người đều không kết hôn" (tức là "không tồn tại người nào kết hôn"), trong khi phải nói đúng hơn là "không phải tất cả mọi người đều kết hôn" (tức là "có một số người không kết hôn"):

$\lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)$

Phủ định cũng có thể được diễn đạt thông qua câu "Không có", "Không tồn tại", .. trái ngược với "Có tồn tại", "Có ít nhất":

$\nexists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)$

Không giống như lượng từ phổ quát, lượng từ tồn tại phân phối với phép tuyển:

$\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor Q(x)\to \ (\exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\lor \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,Q(x))$

Tài liệu tham khảo

• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.