Hàm rect

Hàm rect.

Hàm chữ nhật hay hàm rect là một hàm toán học liên tục được định nghĩa như sau:

$\operatorname {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\mbox{khi }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{khi }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$

Ngoài ra, trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là lĩnh vực xử lý tín hiệu, hàm rect còn được định nghĩa theo cách khác như sau:

$\operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{khi }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{khi }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}$

Biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier liên tục của hàm rect là một hàm sinc:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} (\pi f)=\mathrm {si} (f).\end{aligned}}$

và:

${\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right).$

Mối quan hệ với hàm tri

Tích chập của 2 hàm rect là 1 hàm tri.

$\mathrm {tri} (t)=\mathrm {rect} (t)*\mathrm {rect} (t).\,$

Ứng dụng trong xác suất

Sử dụng hàm rect như là một hàm mật độ xác suất, nó là 1 trường hợp đặc biệt của phân phối đều liên tục với $a,b=-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}$.

Hàm đặc trưng:

$\varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},\,$

Hàm sinh mômen:

$M(k)={\frac {\mathrm {sinh} (k/2)}{k/2}},\,$

với $\mathrm {sinh} (t)$ là một hàm hypebolic.

Biểu diễn bằng hàm hữu tỉ

Hàm rect có thể được biểu diễn dưới dạng là giới hạn của 1 hàm hữu tỉ:

$\sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}$

Chứng minh

• Trường hợp $|t|<{\frac {1}{2}}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t<1 cho nên (2t)2n→0 khi n→∝.

Suy ra:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}$

• Trường hợp $|t|>{\frac {1}{2}}$. Với mọi số nguyên n thì (2t)2n luôn luôn dương. Do 2t>1 cho nên (2t)2n→∝ khi n→∝.

Suy ra:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}$

• Trường hợp $|t|={\frac {1}{2}}$.

Dễ dàng ta có:

$\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$

Từ đó có thể định nghĩa hàm rect như sau:

$\therefore \mathrm {rect} (t)=\sqcap (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\blacksquare \\\end{cases}}$